x^nの微分

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{(x+a) - x \over (x+a) - x}

$ = 1

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{(x+a)^2 - x^2 \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{2xa + a^2 \over a}

$ = \lim_{a \to 0}{2xa \over a} + \lim_{a \to 0}{a^2 \over a}

$ = 2x

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{(x+a)^3 - x^3 \over (x + a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{3x^2a + 3xa^2 + a^3 \over a}

$ = \lim_{a \to 0}{3x^2a \over a} + \lim_{a \to 0}{3xa^2 \over a} + \lim_{a \to 0}{a^3 \over a}

$ = 3x^2

つまり

$ f'(x) = \binom{n}{n-1}x^{n-1}

$ = nx^{n-1}